第 2 章信号与信道：数据怎样通过空气或电缆走

2.1 信号是什么

信号是携带信息的物理量随时间的变化。例如：

麦克风输出的电压随时间变化。
天线接收到的电磁波强度随时间变化。
光纤中的光强随时间变化。

我们用 $s(t)$ 表示连续时间信号，用 $s[n]$ 表示离散时间信号。

通信的第一步，通常是把“信息”变成物理上可以传输的信号。

2.2 从模拟到数字

数字信号是离散时间和离散幅度的信号。要把连续信号变成数字信号，一般要做：

采样：按一定时间间隔取点。
量化：把每个采样点的连续取值变成有限个离散等级。
编码：把离散等级变成二进制比特。

例如，一个像素的亮度可能是 0 到 1 之间的实数，量化成 8 比特后，就只有 $2^8=256$ 个亮度等级。

2.3 奈奎斯特采样定理

如果连续信号 $s(t)$ 的最高频率为 $f_{\max}$，则采样频率必须满足：

$$ f_s \ge 2 f_{\max} $$

这个条件称为奈奎斯特条件。满足它时，理论上可以从采样值无失真重建原信号。

如果采样频率低于奈奎斯特频率，会出现“混叠”，即高频成分伪装成低频成分，信息就不可恢复。

为什么重要：无线通信和数字信号处理中，我们处理的不是抽象的“0/1”，而是经过采样后的离散信号。

2.4 傅里叶变换与频谱

傅里叶变换把一个时域信号分解成不同频率的正弦波：

$$ S(f)=\int_{-\infty}^{\infty} s(t)e^{-j2\pi ft}\,dt $$

反变换为：

$$ s(t)=\int_{-\infty}^{\infty} S(f)e^{j2\pi ft}\,df $$

$|S(f)|^2$ 描述信号在不同频率上的能量，称为功率谱或能谱。

直观理解：

时域告诉你“信号随时间怎么变”。
频域告诉你“信号由哪些频率成分组成”。
带宽就是信号所占的频率范围。

例如，一段音乐有低频也有高频，电话只保留语音中最关键的一部分频段，所以带宽窄、音质低，但足够听懂。

2.5 线性时不变系统与卷积

如果系统满足线性性和时不变性，就称为线性时不变系统（LTI）。它的输出可以表示为输入与系统冲激响应 $h(t)$ 的卷积：

$$ y(t)=(s*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} s(\tau)h(t-\tau)\,d\tau $$

在频域中，卷积变成乘法：

$$ Y(f)=S(f)H(f) $$

其中 $H(f)$ 是系统的频率响应。

为什么重要：信道本身就是一个系统。发送信号经过信道后会被“变形”，接收端需要用均衡、滤波等方法尽量把它还原。

2.6 调制：把比特变成电磁波

数字信号本身通常是 0 和 1，不适合直接在空气中传播。调制就是把比特映射成适合信道传输的波形或符号。

最常见的基础调制包括：

BPSK（二进制相移键控）：0 映射为 $-1$，1 映射为 $+1$。
QPSK（正交相移键控）：一次传 2 比特，使用 4 个相位。
QAM（正交幅度调制）：同时改变幅度和相位，例如 16-QAM 一次传 4 比特，64-QAM 一次传 6 比特。

我们用符号 $x$ 表示调制后的复数符号。一个简单模型是：

$$ y=x+n $$

其中 $n$ 是噪声。

关键权衡：调制的阶数越高，一次传输的比特越多，但符号之间越接近，越容易被噪声混淆。所以“速率”和“可靠性”永远是权衡。

2.7 加性高斯白噪声信道

AWGN 信道模型是最基本的数学模型：

$$ Y=X+N,\qquad N\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2) $$

信噪比定义为：

$$ \mathrm{SNR}=\frac{P_{\text{signal}}}{P_{\text{noise}}} $$

如果信号平均功率为 $P$，噪声平均功率为 $\sigma^2$，则：

$$ \mathrm{SNR}=\frac{P}{\sigma^2} $$

信噪比越高，接收端越容易区分不同符号，误码率越低。

一个简单计算：如果发送 +1 和 -1，接收端采用最大似然判决，即收到正数判 +1，收到负数判 -1。高斯噪声造成误判的概率为：

$$ P_e=Q\left(\sqrt{\frac{P}{\sigma^2}}\right) $$

其中 $Q(\cdot)$ 是标准正态分布的尾概率：

$$ Q(z)=\int_{z}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}\,dt $$

这里 $P/\sigma^2$ 就是 BPSK 在功率意义下的 SNR。这个公式告诉你：噪声越大，越容易出错；功率越大，越不容易出错。

2.8 无线信道为什么复杂

无线信道不是只有噪声。发送信号通常会：

被建筑物反射、散射、绕射；
多路到达接收端，形成多径；
因为移动而出现多普勒频移；
随时间变化，产生衰落。

简单的窄带无线信道模型可以写成：

$$ Y=H X+N $$

其中 $H$ 是一个复数增益，表示幅度和相位变化。在瑞利衰落中，$H$ 通常建模为复高斯随机变量，$|H|^2$ 服从指数分布。

多天线系统可以把模型写成：

$$ \mathbf{y}=\mathbf{H}\mathbf{x}+\mathbf{n} $$

其中 $\mathbf{H}$ 是信道矩阵、$\mathbf{x}$ 是发送向量、$\mathbf{n}$ 是噪声向量。

为什么语义通信要关心无线信道：不是所有语义编码都能在任意信道下都工作。信道变差、信道状态信息不准确、终端移动，都会影响语义特征的传输质量。

2.9 OFDM 与频率资源

OFDM（正交频分复用）把一段宽带划分成多个窄带子载波，使它们彼此正交，从而同时传输多路数据。它的好处是：

对抗多径干扰；
便于资源分配；
和 MIMO、调制等灵活组合。

直觉：一块大蛋糕如果整体容易被弄脏，不如切成很多小块；如果某些小块脏了，只重传或修复那几块，而不会导致整块蛋糕全废。

2.10 信道容量：香农公式

在 AWGN 信道中，香农给出了著名的信道容量：

$$ C=B\log_2(1+\mathrm{SNR}) $$

其中：

$C$：最大可靠传输速率，单位 bit/s；
$B$：带宽，单位 Hz；
$\mathrm{SNR}$：信噪比，无量纲。

这个公式的含义是：无论编码多么复杂，只要传输速率超过 $C$，就无法实现任意低的错误率；只要低于 $C$，原则上可以通过编码逐渐趋近零误码。

对语义通信的启示：经典容量是一个“按比特”的物理上限。语义通信并不否定这个上限，而是尝试改变“什么样的比特值得传”。如果能减少不重要的比特，同样的信道容量就可以承载更多“真正有用的语义”。

2.11 通信系统的整体框图

经典通信系统可以写成：

$$ \text{源} \to \text{信源编码} \to \text{信道编码} \to \text{调制} \to \text{信道} \to \text{解调} \to \text{信道解码} \to \text{信源解码} \to \text{用户} $$

每一步都有对应目标：

模块	目标
信源编码	去冗余、压缩数据
信道编码	加冗余、抗噪声
调制	把比特映射为波形/符号
信道	传播和引入噪声/衰落
解调/解码	在噪声中恢复符号、比特
信源解码	重建原始数据

后面会讲：语义通信最核心的变化，是把“信源编码”和“信道编码”是否必须分开、以及“什么才叫恢复成功”重新思考了一遍。

第 2 章小结

通信是“信息→信号→信道→信号→信息→任务”的过程。
采样定理告诉你能不能无损还原连续信号。
傅里叶变换和卷积帮你理解频率和信道变形。
AWGN、衰落、多径是无线通信最基本的信道模型。
信道容量 $C=B\log_2(1+\mathrm{SNR})$ 是香农理论的基石。
语义通信不取消香农容量，而是在它之上重新审视“该传什么、什么是成功”。

第 2 章 信号与信道：数据怎样通过空气或电缆走